Question

已知函数的图象过坐标原点，且在点（-1，f（-1））．处的切线的斜率是-5，函数f（x）=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，x≥1

（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当x＜1时，由f（x）=-x³+x²+bx+c，知f′（x）=-3x²+2x+b．依题意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0；
（Ⅱ）当x＜1时，由f（x）=-x³+x²，知f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=

2

3

．列表讨论，得f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

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；f（1）=0．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于函数的图象过坐标原点，
则f（0）=0，即有c=0，
x＜1时，f′（x）=-3x²+2x+b，
f（x）在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，
则-3-2+b=-5，解得，b=0，
故b=0，c=0；
（Ⅱ）f（x）=

-x3+x2，x＜1 alnx，x＞1

，
当x＜1时，f（x）=-x³+x²，
f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，有-3x²+2x=0，
∴x=0，x=

2

3

．

x	-1	（-1，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	2	↘		↗		↘

f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

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；f（1）=0．
∴当x∈[-1，1）时，f（x）最大值为2．
当x∈[1，2]时，
当a＜0时，f（x）是减函数；当a=0时，f（x）=0，此时f（x）_max=0；
当a＞0时，f（x）是增函数，f（x）_max=f（2）=aln2．
∵当a≤

2

ln2

时，有2≥aln2，f（x）_max=2，
当a＞

2

ln2

时，有2＜aln2，f（x）_max=aln2．
∴f（x）_max=

2(a≤ 2 ln2 ) aln2(a＞ 2 ln2 )

．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法，具体涉及到导数的应用、函数的性质，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．易错点是分类不清导致出错．