Question

已知点是圆上任意一点(是圆心)，点与点关于原点对称.线段的中垂线分别与交于两点．

（I）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）直线经过F₂，与抛物线y²=4x交于A₁，A₂两点，与 交于B₁，B₂两点.当以B₁B₂为直径的圆经过F₁时，求|A₁A₂|.

Answer 1

 解：（I）由题意得，圆的半径为，且 

从而  ………… 2分

∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,   ………… 4分

其中长轴,得到,焦距，

则短半轴

椭圆方程为:     ………… 5分

   （Ⅱ）当直线 与x轴垂直时，B₁(1，),B₂(1，-),又F₁(-1,0),

   此时，所以以B₁B₂为直径的圆不经过F₁.不满足条件.……………（6分）

当直线 不与x轴垂直时，设L：y=k(x-1)

        由

    因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点.

        设B₁(x₁,y₁)，B₂（x₂,y₂）,则

        因为以B₁B₂为直径的圆经过F₁，所以，又F₁(-1，0)

        所以（-1-x₁）(-1-x₂)+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+(1-k²)(x₁+x₂)+1+k²=0

        所以解得           ……………（8分）

        由得k²x²-(2k²+4)x+k²=0

        因为直线 与抛物线有两个交点，所以

        设A₁(x₃,y₃)  ，A₂(x₄,y₄)，则

        所以 .     …………(12分)