Question

5．设函数f（x）=e^x-x-2
（1）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若k为整数，且当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，然后由直线方程的点斜式求得切线方程；
（2）把当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0恒成立，转化为k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，构造函数g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，利用导数求得函数g（x）的最小值的范围得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-x-2的导数为：
f′（x）=e^x-1，
函数f（x）在x=1处的切线斜率为k=e-1，
切点为（1，e-3），
即有函数f（x）在x=1处的切线方程为y-（e-3）=（e-1）（x-1），
即为y=（e-1）x-2；
（2）当x＞0时，e^x-1＞0，
∴不等式，（x-k）f′（x）+x+1＞0可以变形如下：
（x-k）（e^x-1）+x+1＞0，即k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x①
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$，
函数h（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．
设此零点为a，则a∈（1，2）．
当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0；
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（a）．由g′（a）=0，可得e^a=a+2，
∴g（a）=a+1∈（2，3），
由于①式等价于k＜g（a）．
故整数k的最大值为2．

点评 本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了函数恒成立问题，着重考查了数学转化思想方法，考查了函数最值的求法，属中档题．