Question

已知经过抛物线焦点的直线与抛物线交于、 两点，若存在一定点，使得无论怎样运动，总有直线AD的斜率与BD的斜率互为相反数．

（I）求与的值；

（II）对于椭圆：，经过它左焦点的直线与椭圆交于、两点，是否存在定点，使得无论怎样运动，都有？若存在，求出坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解（I）∵直线经过抛物线的焦点为， ∴，∴，

直线代入得，设，，

则，，∵得无论怎样运动，直线AD的斜率与BD的斜率互为相反数，

∴无论、怎样变化，总有，即

∵，∴；                                                   

（II）直线垂直于轴时，、两点关于轴对称，

∵，∴要使，则必在轴上，设点，

直线不垂直于轴时，设，设，，

代入得，

∴，，

∵，∴直线的斜率与的斜率互为相反数，

即，