Question

如图，已知过点A（1，2）的抛物线C：y²=ax与过点T（3，-2）的动直线l相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求直线AP与直线AQ的斜率的乘积；
（Ⅱ）若∠APQ=∠AQP，求证：△APQ的周长为定值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设直线l的方程为x=m（y+2）+3代入抛物线方程，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求直线AP与直线AQ的斜率的乘积；
（Ⅱ）求出PQ的中点坐标，可得

2m-2

2m2+2m+3-1

=-m，即m³+m²+2m-1=0，构造函数，利用方程m³+m²+2m-1=0有唯一实根，即可证明结论．

解答： （I）解：由抛物线C：y²=ax过点A（1，2）知a=4…（1分）
设直线l的方程为x=m（y+2）+3
代入抛物线方程得y²-4my-8m-12=0       …（2分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8m-12                …（3分）
∴k_APk_AQ=

16

y1y2+2(y1+y2)+4

=-2 …（6分）
（II）证明：PQ的中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即（

y12 4 + y22 4

2

，

y1+y2

2

），
∴PQ的中点坐标为（2m²+2m+3，2m），…（8分）
由已知得

2m-2

2m2+2m+3-1

=-m，即m³+m²+2m-1=0．…（10分）
设f（m）=m³+m²+2m-1，则f′（m）=3m²+2m+2＞0，
∴f（m）在R上是增函数，又f（0）=-1，f′（1）=3，故f（m）在（0，1）内有一个零点，
函数f（m）有且只有一个零点，即方程m³+m²+2m-1=0有唯一实根．
∴满足条件的三角形唯一确定，从而△APQ的周长为定值．…（14分）

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．