Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E，F分别是AA₁，DD₁的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁∥平面EFC；
（Ⅱ）求证：C₁F⊥平面EFC；
（Ⅲ）在棱BB₁上是否存在一点P，使得平面ADP⊥平面EFC？若存在，求出

BP

BB1

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出B₁C₁∥EF，由此能证明B₁C₁∥平面EFC．
（Ⅱ）设AB=1，则AA₁=2AB=2，D₁F=DF=1，所以C1F=CF=

2

，从而C1F2+CF2=CC12，进而得到C₁F⊥CF，由线面垂直得到C₁F⊥EF，由此能证明C₁F⊥平面EFC．
（Ⅲ）棱BB₁上存在中点P，使得平面ADP⊥平面EFC．从而得到平面ADP⊥平面EFC，时

BP

BB1

=

1

2

．

解答： （Ⅰ）证明：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，
E，F分别是AA₁，DD₁的中点，
∴B₁C₁∥A₁D₁，EF∥A₁D₁，
∴B₁C₁∥EF，
∵B₁C₁不包含于平面EFC，EF?平面EFC，
∴B₁C₁∥平面EFC．
（Ⅱ）证明：设AB=1，则AA₁=2AB=2，D₁F=DF=1，
∴C1F=CF=

2

，∴C1F2+CF2=CC12，
∴C₁F⊥CF，∵A₁D₁⊥平面CDD₁C₁，EF∥A₁D₁，
∴EF⊥平面CDD₁C₁，
∵C₁F?平面CDD₁C₁，∴C₁F⊥EF，
∴C₁F⊥平面EFC．
（Ⅲ）解：棱BB₁上存在中点P，使得平面ADP⊥平面EFC．
证明如下：∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F是DD₁中点，P是BB₁中点，
∴C₁F∥AP，∵C₁F⊥平面EFC，∴AP⊥平面EFC，
∵AP?平面ADP，∴平面ADP⊥平面EFC，
此时

BP

BB1

=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直时点的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．