Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

nan

3n

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据条件，建立方程组，构造等比数列即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法以及分组求和法即可求数列{

nan

3n

}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
∴2S_n-1=a_n-2ⁿ+1，（n≥2），
两式相减得2（S_n-S_n-1）=a_n+1-a_n-2ⁿ⁺¹+2ⁿ，
即2a_n=a_n+1-a_n-2ⁿ，则a_n+1=3a_n+2ⁿ，
整理得a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），
即{a_n+2ⁿ}是首项为a₁+2=1+2=3，公比q=3的等比数列，
则a_n+2ⁿ=3•3^n-1=3ⁿ，
则a_n=3ⁿ-2ⁿ，即数列数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）∵a_n=3ⁿ-2ⁿ，∴

nan

3n

=

n(3n-2n)

3n

=n（1-（

2

3

）ⁿ）=n-n•（

2

3

）ⁿ，
设数列{n•（

2

3

）ⁿ}的前n项和为S_n，
则S_n=1•（

2

3

）¹+2•（

2

3

）²+…+n•（

2

3

）ⁿ，

2

3

S_n=1•（

2

3

）²+2•（

2

3

）³+…+n•（

2

3

）ⁿ⁺¹，
两式相减得

1

3

S_n=1•（

2

3

）¹+（

2

3

）²+…+（

2

3

）ⁿ-n•（

2

3

）ⁿ⁺¹=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n•（

2

3

）ⁿ⁺¹
=2-2•（

2

3

）ⁿ-n•（

2

3

）ⁿ⁺¹，
则S_n=6-6•（

2

3

）ⁿ-3n•（

2

3

）ⁿ⁺¹=6-（6+2n）•（

2

3

）ⁿ，
则数列{

nan

3n

}的前n项和T_n=S_n+1+2+…+n=6-（6+2n）•（

2

3

）ⁿ+

n(n+1)

2

．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列前n项和的计算，利用分组求和法以及错位相减法是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．