Question

已知在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=4a_n-3．
（I）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得a_n+1-1=4（an-1），a₁-1=2，由此能证明数列{a_n-1}是以2为首项，以4为公比的等比数列，并能求出an=2×4n-1+1．
（Ⅱ）由已知条件利用分组求和法和等比数列的前n项和公式能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=4a_n-3，
∴a_n+1-1=4（an-1），a₁-1=2，
∴

an+1-1

an-1

=4，
∴数列{a_n-1}是以2为首项，以4为公比的等比数列，…（4分）
∴an-1=2×4n-1，
∴an=2×4n-1+1．…（6分）
（Ⅱ）解：Sn=2+2×4+2×42+…+2×4n-1+n=

2×(1-4n)

1-4

+n=

2

3

×(4n-1)+n．…（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．