Question

已知对?n∈Z⁺，数列{a_n}的前n项和S_n=

a1-an+1

1-g

（g为常实数．g≠0，且g≠1），当k=2时，证明：S_k，S₉，S₆不能成等差数列．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+2=g•a_n+1 n为正整数  从第二项开始成等比数列，假设 S_k，S₉，S₆成等差数列，则 2-g²-g⁶=2×（1-g⁹），令f（g）=2g⁷-g⁴-1，由f（g）取不到0．知假设不成立，故S_k，S₉，S₆不能成等差数列．

解答： 证明：数列{a_n}的前n项和S_n=

a1-an+1

1-g

（g为常实数．g≠0，且g≠1），
S_n+1-S_n=a_n+1=

-an+2-(-an+1)

1-g

，
得：a_n+2=g•a_n+1 n为正整数，从第二项开始成等比数列
当n=1时，S₁=a₁=

a1-a2

1-g

，a₂=g•a₁，
故整个数列为等比数列S_n=a₁•

1-gn

1-g

，
当k=2时，S₂+S₆=a₁•

1-g2+1-g6

1-g

=a1•

2-g2-g6

1-g

，
S₉=a₁•

1-g9

1-g

，
假设 S_k，S₉，S₆成等差数列，则 2-g²-g⁶=2×（1-g⁹），
又g≠0 则2g⁷-g⁴-1=0，
令f（g）=2g⁷-g⁴-1 则f′（g）=14g⁶-4g³，求得极值点为g=0，
f（g）在（

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，+∞）为单调递增，
在g=1时取到零点，又知g≠1，故f（g）取不到0．
所以假设不成立，
故S_k，S₉，S₆不能成等差数列．

点评：本题考查数列中S_k，S₉，S₆不能成等差数列的证明，解题时要认真审题，注意导数性质、函数零点等知识点的合理运用．