Question

已知函数f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0）．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据定义判断函数的单调性；
（2）利用（1）的结论确定[

1

2

，2]中何时取最值，利用值域中提供的最值建立等式关系并求解．

解答：解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
设x₁＞x₂＞0，f(x1)-f(x2)=(

1

a

-

1

x1

)-(

1

a

-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1•x2

因为x₁＞x₂＞0，所以x₁-x₂＞0，x₁•x₂＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），因此函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）由（1）知函数f（x）在[

1

2

，2]上单调递增，并且f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，
所以

f( 1 2 )= 1 a -2= 1 2 f(2)= 1 a - 1 2 =2

，所以a=

2

5

．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，对于（2），要利用好（1）所求得的结果．