Question

【题目】抛物线的焦点F为圆C：的圆心．

求抛物线的方程与其准线方程；

直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；

若线段AB中点的纵坐标为，求直线l的方程；

求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ,；（2）或；②

【解析】

（1）由圆C：配方可得：，可得圆心可得抛物线的焦点因此，解得，即可得出．

（2）设直线的方程为：，，由直线与圆相切，可得：，或直线与抛物线联立，化为：，进而得到，或，根与系数的关系可得，，根据中点坐标公式即可求出m的值，可得直线方程，利用数量积运算性质，再利用二次函数的单调性即可得出．

解：（1）由圆 配方可得：，可得圆心．

抛物线的焦点．

，解得．

抛物线的准线方程为：．

抛物线的方程为

（2）设直线的方程为：，，

直线与圆相切，

，化为：．

，或．

联立，化为：，

．

，或．

即，解得或

所以可得的范围为或

，．

线段中点的纵坐标为，

，

，

，

解得或，

故直线的方程为或

②

.

设 ，或

当时，单调递增，，

当时，单调递减，

．

的取值范围是．