Question

已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．

(1)证明：展开式中没有常数项；

(2)求展开式中所有的有理项．

 

Answer 1

（1）见解析 （2）T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.

【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1， ()1， ()2，且2·＝1＋ ()2，

即n2－9n＋8＝0，

∴n＝8(n＝1舍去)．

 

(1)若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，即3r＝16.

∵r∈Z，∴这不可能．

∴展开式中没有常数项．

(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，

∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0,4,8，

即展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.