Question

20．若动△ABC内接于抛物线y²=4x，且△ABC的重心恰好是抛物线的焦点，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），C（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$，y₃），由重心坐标公式，可得$\frac{1}{3}$•$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}}{4}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$=0，消去y₃，可得y₁²+y₂²+y₁y₂=6，由基本不等式可得0≤y₁y₂≤2．运用向量的数量积求得三角形的面积公式，运用重心的性质，可得△FAB、△FBC、△FCA的面积相等，且为△ABC的面积的$\frac{1}{3}$．求出S_△FAB的表达式，运用换元法和导数，判断单调性，可得最大值．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），C（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$，y₃），
可得△ABC的重心为（$\frac{1}{3}$•$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}}{4}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$），
由题意可得$\frac{1}{3}$•$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}}{4}$=1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}}{3}$=0，
将y₃=-（y₁+y₂），代入第一式可得y₁²+y₂²+y₁y₂=6，
由y₁²+y₂²≥2y₁y₂，可得y₁y₂≤2．
可设0≤y₁y₂≤2．
由F为△ABC的重心，可得△FAB、△FBC、△FCA的面积相等，
且为△ABC的面积的$\frac{1}{3}$．
由$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-1，y₂），
可得S_△FAB=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{FA}$|•|$\overrightarrow{FB}$|sin＜$\overrightarrow{FA}$，$\overrightarrow{FB}$＞=$\frac{1}{2}$$\sqrt{|\overrightarrow{FA}{|}^{2}•|\overrightarrow{FB}{|}^{2}-（\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}）^{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}+1）^{2}（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}+1）^{2}-（{y}_{1}{y}_{2}+（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1）（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-1））^{2}}$
=$\frac{1}{2}$|（y₁-y₂）（1+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}$）|，
由y₁²+y₂²+y₁y₂=6，可得（y₁-y₂）²=6-3y₁y₂，
可令t=y₁y₂，可得z=（6-3t）（1+$\frac{t}{4}$）²，
导数z′=-3（1+$\frac{t}{4}$）²+$\frac{1}{2}$（6-3t）（1+$\frac{t}{4}$）=-$\frac{9t}{4}$（1+$\frac{t}{4}$），
由t∈[0，2]，z′≤0，即函数z递减，可得t=0时，取得最大值6．
即有S_△FAB的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
可得△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
此时可得A（0，0），B（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$），C（$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用重心的坐标公式和重心的性质：连接重心和三个顶点的三角形的面积相等且为原三角形的面积的$\frac{1}{3}$，考查化简整理的运算能力，运用向量法是解题的关键．