Question

19．给出下列命题，其中正确命题是①②③（填序号）．
①任何常数的导数都是零；
②直线y=x上任意一点处的切线方程是这条直线本身；
③双曲线y=$\frac{1}{x}$上任意一点处的切线斜率都是负值；
④直线y=2x和抛物线y=x²在x∈（0，+∞）上函数值增长的速度一样快．

Answer 1

分析 由导数的几何意义逐一核对四个命题得答案．

解答 解：①导数的几何意义是函数在曲线上点处的斜率，当函数为y=k时，函数在其定义域内的斜率为0，则常数的导数为0，故①正确；
②设P（x₀，x₀）为直线y=x上任意一点，则$y′{|}_{x={x}_{0}}=1$，∴切线方程为y-x₀=1×（x-x₀），即y=x，故②正确；
③设P（x₀，x₀）为直线y=$\frac{1}{x}$上任意一点，则y′=$-\frac{1}{{x}^{2}}＜0$，故③正确；
④函数y=2x的瞬时变化率为y′=2，为定值；y=x²在x∈（0，+∞）上的瞬时变化率为y′=2x，随着x的增大而增大，
∴直线y=2x和抛物线y=x²在x∈（0，+∞）上函数值增长的速度不同，故④错误．
∴正确的命题是：①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了导数的概念及其几何意义，是基础题．