Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形．

(1)求出的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；
(3)求的值.

Answer 1

解： (1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
　……
由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n⇒f(n＋1)＝f(n)＋4n
⇒f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n²－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝(－)，
∴＋＋＋…＋＝1＋·(1－＋－＋－＋…＋－)＝1＋ (1－)＝－.

解析