Question

如图，P是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中BC₁上的动点，下列命题：
①AP⊥B₁C；
②BP与CD₁所成的角是60°；
③VP-AD1C为定值；
④B₁P∥平面D₁AC；
⑤二面角P-AB-C的平面角为45°．
其中正确命题的个数有（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：直接利用空间中线线关系，线面关系及面面关系逐一判断5个命题得答案．

解答： 解：对于①，∵AB⊥B₁C，BC₁⊥B₁C，
∴B₁C⊥面ABC₁，
∴AP⊥B₁C，命题①正确；
对于②，BP与CD₁所成的角等于BP与CD₁所成的角，等于60°，命题②正确；
对于③，∵BC₁∥面AD₁C，则P到面AD₁C的距离相等，
∴VP-AD1C为定值，命题③正确；
对于④，∵面BB₁C₁与面AD₁C相交，
∴B₁P∥平面D₁AC错误；
对于⑤，由二面角的定义知，∠C₁BC为二面角P-AB-C的平面角，等于45°，命题⑤正确．
∴正确命题的个数是4个．
故选：C．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间中的线线关系和线面关系，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．