Question

【题目】已知函数 (k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，x∈（0，+∞），

且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，

∴f′（1）=0，

∴k=1；

（2）解：由（1）得：f′（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），

令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），

当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，

又ex＞0，

∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，

x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；

（3）证明：∵g（x）=（x2+x）f′（x），

∴g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），

∴x＞0，g（x）＜1+e﹣21﹣x﹣xlnx＜ （1+e﹣2），

由（2）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），

∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），

∴x∈（0，e﹣2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，

x∈（e﹣2，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，

∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2，

∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2，

设m（x）=ex﹣（x+1），

∴m′（x）=ex﹣1=ex﹣e0，

∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，

∴m（x）＞m（0）=0，

∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，

即 ＞1，

∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ （1+e﹣2），

∴x＞0，g（x）＜1+e﹣2

【解析】（1）先求出f′（x）= ，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，
f（1））处的切线与x轴平行，得f′（1）=0，从而求出k=1；（2）由（Ⅰ）得：f′（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的导数，从而得f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（3）因g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 ， 设m（x）=ex﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，进而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ （1+e﹣2），问题得以证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）/span>将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．