Question

已知函数f（x）=x²+2x+1，当x∈[-1，1]时，求函数F（x）=f（x）-kx的最小值g（k）．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，当x∈[-1，1]时，函数F（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，函数F（x）的对称轴为x=

k

2

-1，分对称轴在区间[-1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别利用单调性气的函数的最小值．

解答： 解：由题意可得，当x∈[-1，1]时，函数F（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，
函数F（x）的对称轴为x=

k

2

-1．
当

k

2

-1＜-1时，函数F（x）在[-1，1]上是增函数，故它的最小值g（k）=g（-1）=0．
当-1≤

k

2

-1≤1时，函数F（x）在[-1，1]上没有单调性，故它的最小值g（k）=g（

k

2

-1）=k-

k2

4

．
当

k

2

-1＞1时，函数F（x）在[-1，1]上是减函数，故它的最小值g（k）=g（1）=4-k．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．