Question

已知函数f（x）=x³+ax²-a．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）对任意a≤-3，使得f（1）是函数f（x）在区间[1，b]（b＞1）上的最大值，试求最大的实数b．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可得出单调区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，可得只要f（1）≥f（b）即可，列出不等式求得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²-a．
∴f′（x）=3x²+2ax=3x（x+

2

3

a），
∴当a=0时，f′（x）≥0，函数f（x）的单调增区间是（-∞，+∞）；
当a＞0时，由f′（x）＞0得，x＜-

2a

3

或x＞0，故函数f（x）的单调增区间是（-∞，-

2a

3

），（0，+∞）；
当a＜0时，由f′（x）＞0得，x＞-

2a

3

或x＜0，故函数f（x）的单调增区间是（-

2a

3

，+∞），（-∞，0）；
（Ⅱ）∵a≤-3，∴-

2a

3

≥2，∴不论-

2a

3

＜b还是-

2a

3

≥b，由题意可知f（1）≥f（b）即可，
∴b³+ab²-a-1≤0，令g（a）=b³+ab²-a-1，∵b＞1，
∴只要g（-3）=b³-3b²+2≤0，即（b-1）（b²-2b-2）≤0，解得1＜b≤1+

3

，
∴b的最大值是1+

3

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值等知识，考查学生的运算求解能力及分类讨论思想，划归转化思想的运用能力，属难题．