Question

3．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=$\frac{1}{2}$，试求f（x）在区间[-2，6]上的最值．

Answer 1

分析 （1）在给出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=-x可证明f（x）是奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，借助于已知等式证明函数f（x）为增函数，从而求出函数在给定区间上的最值．

解答 解：（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x），即f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且x₁＜x₂，
∴f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）为增函数，
∴当x=-2时，函数有最小值，f（x）_min=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=-1．
当x=6时，函数有最大值，f（x）_max=f（6）=6f（1）=3；

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．