如图，椭圆
经过点
，离心率
，直线
的方程为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)
是经过右焦点
的任一弦(不经过点
)，设直线与直线相交于点
，记
的斜率分别为
.问：是否存在常数
，使得
？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(1)
；(2)
.
解析试题分析：（1）将点代入椭圆的方程得到
，结合离心率
且
，即可求解出
，进而写出椭圆的标准方程即可；（2）依题意知，直线的斜率存在，先设直线
的方程为
，并设
，联立直线的方程与椭圆的方程，消去
得到
，根据二次方程根与系数的关系得到
，由直线及的方程确定点的坐标（含
），进而得到
，
进而整理出
（注意关注并应用
共线得到
），从而可确定的取值.
试题解析：(1)由在椭圆上得， ①
依题设知
，则
②
②代入①解得
故椭圆
的方程为
(2)由题意可设的斜率为
， 则直线的方程为 ③
代入椭圆方程
并整理
得
设，则有 ④
在方程③中令
得，
的坐标为
从而
注意到共线，则有，即有
所以
⑤
④代入⑤得
又
，所以
.故存在常数符合题意.
考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.
课课优能力培优100分系列答案
优百分课时互动系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M.是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
＝1(a>b>0)经过点M(－2，－1)，离心率为
.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.
(1)求椭圆C的方程；
(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系中，若
，且
.
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）已知定点
，若斜率为
的直线
过点
并与轨迹交于不同的两点
，且对于轨迹上任意一点
，都存在
，使得
成立，试求出满足条件的实数
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P为准线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:
+
=1(a>b>0)的两个焦点.
(1)求椭圆C2的离心率;
(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，椭圆
过点P(1, 
)，其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e＝
,M,N是直线x＝4上的两个动点，且
·
＝0.
（1）求椭圆的方程；
（2）求|MN|的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。
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