Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，$f（x）=\frac{1}{2}（{|{x-1}|+|{x-2}|-3}）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象；
（3）若对任意的x∈R，恒有f（x）≤f（x+a），求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，$f（x）=\frac{1}{2}（{|{x-1}|+|{x-2}|-3}）$，可求得当x＜0时f（x）=-$\frac{1}{2}（|x+1|+|x+2|-3）$，从而可得f（x）的解析式；
（2）由f（x）=$\frac{1}{2}（|x-1|+|x-2|-3）$=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x＜-2}\\{1，-2≤x≤-1}\\{-x，-1＜x＜1}\\{-1，1≤x≤2}\\{x-3，x＞2}\end{array}\right.$即可画出f（x）的图象；
（3）依题意，可得f（x+a）的图象恒在f（x）的图象上方或部分重合，所以只需函数y=f（x+a）的图象与x轴最右边的交点P（-a+3，0）在函数y=f（x）的图象与x轴最左边的交点（-3，0）的左侧或与点（-3，0）重合即可求得正实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＞0时，$f（x）=\frac{1}{2}（{|{x-1}|+|{x-2}|-3}）$．
∴当x＜0时，-x＞0，f（-x）=$\frac{1}{2}（|-x-1|+|-x-2|-3）$=-f（x），
∴f（x）=-$\frac{1}{2}（|x+1|+|x+2|-3）$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}（|x-1|+|x-2|-3）$=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x＜-2}\\{1，-2≤x≤-1}\\{-x，-1＜x＜1}\\{-1，1≤x≤2}\\{x-3，x＞2}\end{array}\right.$；
（2）画出f（x）的图象如下：

（3）∵a＞0，
∴函数y=f（x+a）的图象是函数y=f（x）的图象向左平移a个单位得到的，
又对任意的x∈R，恒有f（x）≤f（x+a），
∴只需f（x+a）的图象恒在f（x）的图象上方或部分重合，
所以只需函数y=f（x+a）的图象与x轴最右边的交点P（-a+3，0）在函数y=f（x）的图象与x轴最左边的交点（-3，0）的左侧或与点（-3，0）重合，
∴-a+3≤-3，
∴a≥6．

点评 本题考查抽象函数及其应用，考查利用函数的奇偶性确定函数解析式及作图能力，对于（3）分析出y=f（x+a）与x轴最右边的交点在y=f（x）与x轴最左边交点的左边或重合是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．