Question

14．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．
（Ⅰ）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

	优秀	合格	合计
大学组
中学组
合计

注：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（k2≥k0）	0.10	0.05	0.005
k0	2.706	3.841	7.879

（Ⅱ）若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；
（Ⅲ）在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为a，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b，求使得方程组$\left\{\begin{array}{l}ax+by=3\\ x+2y=2\end{array}\right.$有唯一一组实数解（x，y）的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条形图可知2×2列联表，计算k²，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅱ）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为$\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$．可得其中优秀等级的选手人数；
（Ⅲ）确定基本事件的个数，即可求出使得方程组$\left\{\begin{array}{l}ax+by=3\\ x+2y=2\end{array}\right.$有唯一一组实数解（x，y）的概率．

解答 解：（Ⅰ）由条形图可知2×2列联表如下

	优秀	合格	合计
大学组	45	10	55
中学组	30	15	45
合计	75	25	100

${K^2}=\frac{{100×{{（45×15-10×30）}^2}}}{75×25×45×55}=\frac{100}{33}≈3.030＜3.841$…（4分）
∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关．…（5分）
（Ⅱ）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为$\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$．
∴所有参赛选手中优秀等级人数约为$6×\frac{3}{4}=4.5$万人．…（8分）
（Ⅲ）a从1，2，3，4，5，6中取，b从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种，
要使方程组$\left\{\begin{array}{l}ax+by=3\\ x+2y=2\end{array}\right.$有唯一组实数解，则$\frac{a}{b}≠\frac{1}{2}$，共33种情形．
故概率$P=\frac{33}{36}=\frac{11}{12}$．…（12分）

点评 本题考查独立性检验的运用，考查概率的求解，考查学生的读图能力，属于中档题．