Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，利用导数来判断函数的单调区间．
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可．
（Ⅲ）先求出f（x）_max，再由题意得f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1，再分离参数，再求函数的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a），
又a＞0，∴当x＜-a或x＞

a

3

时f′（x）＞0；
当-a＜x＜

a

3

时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（

a

3

，+∞），单调递减区间为（-a，

a

3

）．
（Ⅱ）由题设可知，方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上没有实根，
∴

f′(-1)＜0 f′(1)＜0 a＞0

，解得a＞3．
故a的取值范围为（3，+∞）
（Ⅲ）∵a∈[3，6]，∴由（Ⅰ）知

a

3

∈[1，2]，-a≤-3
又x∈[-2，2]
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m 
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²的最小值为-87
∴m≤-87．
故m的取值范围为（-∞，87]

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，还考查了变量分离的思想方法，属于中档题．