Question

已知曲线S：y=3x-x³及点P（2，-2），则过点P可向S引切线的条数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，即可求出过点（2，-2）处的切线方程，从而问题解决．

解答： 解：设切点为（m，n），则n=3m-m³．
又y′=3-3x²，
∴切线斜率k=3-3m²，
∴切线方程为y-（3m-m³）=（3-3m²）（x-m），
代入点P（2，-2），可得-2-（3m-m³）=（3-3m²）（2-m），
∴（m+1）（m-2）²=0，
解得m=-1或m=2
相应的斜率k=0或k=-9，切点分别为（-1，-2），（2，-2）
∴切线方程为y=-2或y=-9x+16．
∴过点P可向S引切线的条数为1条．
故选B．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．