Question

13．设b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$（其中a_n=2^n-1），数列{b_n}的前n项和为T_n，则T₅=（　　）

• A． $\frac{31}{33}$
• B． $\frac{32}{33}$
• C． $\frac{31}{66}$
• D． $\frac{16}{33}$

Answer 1

分析 a_n=2^n-1，可得b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵a_n=2^n-1，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+1）（{a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{1+1}-\frac{1}{2+1}）$+$（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$．
∴T₅=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{5}+1}$=$\frac{31}{66}$．
故选：C．

点评 本题考查了“裂项求和”方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．