Question

以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C₁的极坐标方程为：ρ=2cos(θ-

π

3

)，曲线C₂的参数方程为：

x=4cos π 3 +tcosα y=2sin π 3 +tsinα

（α为参数，t＞0），点N的极坐标为(4，

π

3

)．
（1）若M是曲线C₁上的动点，求M到定点N的距离的最小值；
（2）若曲线C₁与曲线C₂有两个不同交点，求正数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）化圆C₁的极坐标方程为普通方程，求出圆心坐标和半径，化点N的极坐标为直角坐标，用点N到圆心的距离减去圆的半径得圆上M到定点N的距离的最小值；
（2）化圆C₂的参数方程为普通方程，求出圆心坐标和半径，利用曲线C₁与曲线C₂有两个不同交点，得到两圆的圆心距大于半径差的绝对值且小于半径的和，解不等式组即可得到答案．

解答：解：（1）在直角坐标系xOy中，由x=4cos

π

3

=4×

1

2

=2，y=4sin

π

3

=4×

3

2

=2

3

，
可得点N(2，  2

3

)．
由ρ=2cos(θ-

π

3

)，得ρ2=2ρ(cosθcos

π

3

+sinθsin

π

3

)，即ρ2=ρcosθ+

3

ρsinθ，
x2+y2-x-

3

y=0．
∴曲线C₁为圆(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=1，圆心为O1(

1

2

，  

3

2

)，半径为1，
∴|O₁N|=3，
∴|MN|的最小值为3-1=2；
（2）由（1）知，曲线C₁为圆(x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=1，
曲线C₂的参数方程为：

x=4cos π 3 +tcosα y=2sin π 3 +tsinα

（α为参数，t＞0），
即

x=2+tcosα y= 3 +tsinα

，移向后平方作和得：
(x-2)2+(y-

3

)2=t2(t＞0)，
∴曲线C₂为圆心为O2(2，  

3

)，半径为t的圆，
∵曲线C₁与曲线C₂有两个不同交点，
∴|t-1|＜

(2- 1 2 )2+( 3 - 3 2 )2

＜t+1，  t＞0，解得

3

-1＜t＜

3

+1，
∴正数t的取值范围是(

3

-1，  

3

+1)．

点评：本题考查了点的极坐标和直角坐标的互化，考查了参数方程化普通方程，考查了点与圆、圆与圆的位置关系，方法是利用对两圆的圆心距与半径的和与差的绝对值进行大小比较，考查了不等式的解法，是中档题．