Question

【题目】已知函数 =（2sinx，cosx+sinx）， =（cosx，cosx﹣sinx），f（x）= ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0（m∈R）在区间（0， ）内有两个不相等的实数根x1 ， x2 ， 记t=mcos（x1+x2），求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得，f（x）= =2sinxcosx+cos2x﹣sin2x

=cos2x+sin2x= ，

由 得，

由 得，

，

∴函数f（x）的单调递增区间是 ，

单调递减区间是 ，

（2）解：方程f（x）﹣m=0（m∈R）在（0， ）内有两个不相等的实数根x1，x2，

转化为直线y=m与曲线f（x）= 在（0， ）内有两个不同的交点，

当x∈（0， ）时，由（Ⅰ）知，f（x）在（0， ）上递增，在[ ，） 上递减，

∴当x= 时，f（x）取到最大值f（ ）= = ，

又f（0）= =1，f（ ）= =﹣1，

∴m∈（1， ），

∵函数f（x）的图象关于直线x= 对称，

∴x1+x2=2× = ，则cos（x1+x2）= ，

又t=mcos（x1+x2），则实数t的取值范围是（ ，1）．

【解析】（1）利用向量的数量积运算、二倍角公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的单调区间求出函数f（x）的单调区间；（2）先将方程根的问题转化为两个函数图象交点问题，由x的范围和（1）求出f（x）单调区间，端点处的函数值、最大值，结合条件求出m的范围，由正弦函数图象的对称性求出x1+x2 ， 即可实数t的取值范围．