Question

14．已知圆O：x²+y²=1与x轴负半轴的交点为A，P为直线3x+4y-a=0上一点，过P作圆O的切线，切点为T，若PA=2PT，则a的最大值为$\frac{23}{3}$．

Answer 1

分析 设P（x，y），由PA=2PT，把原题转化为直线3x+4y-a=0与圆${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}$有公共点，由此能求出a的最大值．

解答 解：设P（x，y），由PA=2PT，得（x+1）²+y²=4（x²+y²-1），
化简得${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}$，
转化为直线3x+4y-a=0与圆${（{x-\frac{1}{3}}）^2}+{y^2}=\frac{16}{9}$有公共点，
所以$d=\frac{{|{1-a}|}}{5}≤\frac{4}{3}$，
解得$-\frac{17}{3}≤a≤\frac{23}{3}$．
∴a的最大值为$\frac{23}{3}$．
故答案为：$\frac{23}{3}$．

点评 本题考查实数值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．