Question

6．已知圆x²+y²=25和两定点A（-5，0），B（0，$\frac{5}{2}}$）．若该圆上的点M满足MA⊥MB，则直线MA的斜率是2．

Answer 1

分析 设设M（5cosθ，5sinθ），则$\overrightarrow{MA}$=（-5-5cosθ，-5sinθ），$\overrightarrow{MB}$=（-5cosθ，$\frac{5}{2}-5sinθ$），由MA⊥MB，得sinθ=2+2cosθ，由此利用同角三角函数关系式求出M（-3，4），由此能出直线MA的斜率．

解答 解：∵圆x²+y²=25上的点M，∴设M（5cosθ，5sinθ），
∵A（-5，0），B（0，$\frac{5}{2}}$），点M满足MA⊥MB，
∴$\overrightarrow{MA}$=（-5-5cosθ，-5sinθ），$\overrightarrow{MB}$=（-5cosθ，$\frac{5}{2}-5sinθ$），
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=-5cosθ（-5-5cosθ）+（$\frac{5}{2}-5sinθ$）（-5sinθ）
=25cosθ+25cos²θ-$\frac{25}{2}sinθ$+25sin²θ
=25cosθ-$\frac{25}{2}sinθ$+25=0，
解得sinθ=2+2cosθ，
∵sin²θ+cos²θ=1，∴5cos²θ+8cosθ+3=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=-\frac{3}{5}}\\{sinθ=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=-1}\\{sinθ=0}\end{array}\right.$（舍），
∴M（-3，4），∴k_MA=$\frac{0-4}{-5+3}$=2．
∴直线MA的斜率为2．
故答案为：2．

点评 本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的参数方程、向量的数量积、三角函数等知识点的合理运用．