Question

18．（理科）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为直线BC₁上的动点，Q为直线A₁B₁上的动点，则PQ与面BCC₁B₁所成角中最大角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由B₁Q⊥平面BCC₁B₁可知∠QPB₁为PQ与面BCC₁B₁所成的角，且tan∠QPB₁=$\frac{{B}_{1}Q}{{B}_{1}P}$．故而Q与A₁重合，P为BC₁中点时所求线面角最大，设正方体边长为1，求出此时PQ的长即可得出所求角的正弦值的最大值．

解答 解∵B₁Q⊥平面BCC₁B₁，
∴∠QPB₁为PQ与面BCC₁B₁所成的角．
∴tan∠QPB₁=$\frac{{B}_{1}Q}{{B}_{1}P}$．
∴点P在BC₁中点，点Q在A₁时所求角的正切值最大，即∠QPB₁最大．
设正方体边长为1，∠QPB₁最大时，PB₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，B₁Q=1，∴PQ=$\sqrt{{1}^{\;}+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
最大成角的正弦值为$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面角的计算，属于中档题．