Question

10．已知实数c是a，b的等差中项，则直线l：ax-by+c=0被圆x²+y²=9所截得弦长的取值范围为$[\sqrt{34}，6]$．

Answer 1

分析 由等差中项的性质列出等式并表示出c，由点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离平方，由$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}≥（\frac{a+b}{2}）^{2}$求出距离平方的范围，根据弦长公式求出所截得弦长的最小值，由直线过圆心求出最大值，即可求出所截得弦长的取值范围．

解答 解：∵实数c是a，b的等差中项，∴2c=a+b，则c=$\frac{a+b}{2}$，
∴圆心（0，0）到直线l：ax-by+c=0的距离平方：d²=${（\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}）}^{2}$=$\frac{（\frac{a+b}{2}）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}≥（\frac{a+b}{2}）^{2}$，∴d²$≤\frac{1}{2}$，当且仅当a=b时取等号，
∴直线l被圆x²+y²=9所截得弦长是：2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{9-{d}^{2}}$$≥2\sqrt{9-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{34}$，
∵当直线l过圆心（0，0）时，所得的弦长最大是直径为6，
∴所截得弦长的取值范围是$[\sqrt{34}，6]$，
故答案为：$[\sqrt{34}，6]$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式，以及利用不等式求最值，属于中档题．