Question

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F₁PF₂＝，且△PF₁F₂的面积为2，双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程．

Answer 1

－＝1

△PF₁F₂是焦点三角形，利用余弦定理来探索|PF₁|，|PF₂|，a，b，c之间的关系，以便确定双曲线的基本量的大小．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则F₁(－c,0)，F₂(c,0)，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得
|F₁F₂|²＝|PF₁|²＋|PF₂|²－2|PF₁|·|PF₂|·cos＝(|PF₁|－|PF₂|)²＋|PF₁|·|PF₂|，∴4c²＝4a²＋|PF₁|·|PF₂|．
又S_△PF1F2＝2，∴|PF₁|·|PF₂|·sin＝2．
∴|PF₁|·|PF₂|＝8，∴4c²＝4a²＋8，∴c²＝a²＋2，∴b²＝c²－a²＝2，又e＝＝2，∴c＝2a，∴4a²＝a²＋2，∴a²＝．
∴双曲线的标准方程为－＝1．