Question

【题目】已知圆的圆心在轴上，且经过点，．

（Ⅰ）求线段AB的垂直平分线方程；

（Ⅱ）求圆的标准方程；

（Ⅲ）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】

（Ⅰ）利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；

（Ⅱ）设圆的标准方程为，结合第一问可得结果；

（Ⅲ）由题意可知：圆心到直线的距离为1，分类讨论可得结果.

解：（Ⅰ） 设的中点为，则．

由圆的性质，得，所以，得.

所以线段的垂直平分线的方程是.

(II) 设圆的标准方程为，其中，半径为（）.

由圆的性质，圆心在直线上，化简得．

所以 圆心，

，

所以 圆的标准方程为．

(III) 由(I)设为中点，则，得．

圆心到直线的距离.

(1) 当的斜率不存在时，，此时，符合题意.

(2) 当的斜率存在时，设，即，

由题意得，解得：．

故直线的方程为，即．

综上直线的方程或．