Question

【题目】已知函数f（x）=ex（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当 ≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=0时，f（x）=ex（sinx﹣e），

则f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），

∵sinx+cosx= sin（x+ ）≤ ＜e，

∴sinx+cosx﹣e＜0

故f′（x）＜0

则f（x）在R上单调递减

（2）解：当x≥0时，y=ex≥1，

要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．

则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．

设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，

看作以a为变量的一次函数，

要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，

则 ，即 ，

∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，

对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，

则h′（x）=cosx﹣2x，

设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．

∴t= ，sint＜sin ，

∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（ ）2+2﹣e

=sint﹣ +2﹣e= sin2t+sint+ ﹣e=（ +1）2+ ﹣e≤（ ）2+ ﹣e= ﹣e＜0，

故④式成立，

综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0

【解析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可．（2）对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0转化为证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，即可，构造函数，求函数的导数，利用导数进行研究即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．