Question

已知关于x的不等式x²-2（m+1）x+4m＞0．
（1）求该不等式的解集；
（2）若对于?x∈[-1，1]上述不等式恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由因式分解的方法可化不等式为：（x-1）（x+m）＞0，对应方程两根为1和-m，下面由分类讨论的方法可得解集．
（2）由x²-2（m+1）x+4m＞0利用变量分离的方法得m＞

-x2+2x

4-2x

=

x

2

，进而求解

解答： 解：（1）解：原不等式可化为：（x-2）（x-2m）＞0，
对应方程的两根为2，2m，
当2m=2时，不等式即为：（x-2）²＞0，可得解集为：{x|x≠2}；
当2m＞2时，即m＞1时，不等式的解集为：{x|x＜2，或x＞2m}；
当2m＜2时，不等式的解集为：{x|x＜2m，或x＞2}．
（2）∵x²-2（m+1）x+4m＞0，x∈[-1，1]，
∴m＞

-x2+2x

4-2x

=

x

2

，
又x∈[-1，1]，
∴m＞

1

2

．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题的求解，解题的关键是打破定势思维，（习惯上总是把x当作函数的自变量），把函数看做关于m的一次函数，从而容易求解．