本试题主要是考查了导数在研究函数的中的运用。确定函数的单调性,以及函数的极值点,和函数的最值问题的综合运用。
(1)由于当a=4时,解析式确定,求解导数,判定单调性,可以知道函数的 极值点的问题。
(2)因为令
,若函数
在区间
上单调递增,说明了函数F(x)在给定区间的导数恒大于等于零,来分离参数得到取值范围。
(3)根据新的定义“特殊点”的理解,然后给定参数a的值为4,结合第一问的结论,分析可知是否有满足题意的特殊点,主要是借助于导数分析单调性得到。
(Ⅰ)当
时,
=
当
时,
,即
在
上单调递增;
当
时,
,即
在
上单调递减,
所以
为函数
的极大值点,
为函数
的极小值点. ……4分
(Ⅱ)
,若函数
在区间
上单调递增,只需满足
对
恒成立 ………………6分
即
对
恒成立
所以
………………………8分
(Ⅲ)由题意:当
时,
,
则在点
P处切线的斜率
所以
………………………10分
令
,
则
当
时,
在
上单调递减.
时,
从而有
时,
当
时,
在
上单调递减,
从而有
时,
………………………12分
在
上不存在“特殊点”.当
时,
在
上是增函数,故
是一个特殊点的横坐标.