Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面BCC₁B₁⊥底面ABC．
（Ⅰ）若M、N分别为AB、A₁C的中点，求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱BB₁与底面ABC所成的角为
60°．问在线段CC₁上是否存在一点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为
60°，若存在，求BP的长度，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC₁，利用三角形的中位线证明：MN∥BC₁，然后利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
（Ⅱ）过B₁作BC的垂线，垂足为O，证明B₁O⊥平面ABC，BC⊥AO，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系，求出平面ABC₁的法向量，平面ABC的法向量，利用向量的数量积求解二面角是余弦函数值，从而说明P不存在．

解答： 解：（I）连接AC₁，BC₁，∵M、N分别为AB、A₁C的中点，
∴MN

∥

.

1

2

BC1，MN?平面BCC₁B₁；BC₁?平面BCC₁B₁；
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（II）过B₁作BC的垂线，垂足为O，∵侧面BCC₁B₁⊥底面ABC
所以B₁O⊥平面ABC，-----------------------（6分）
所以∠B₁BC就是侧棱BB₁与底面ABC所成的角，即∠B₁BC=60°--（7分）
又AB=AC，所以BC⊥AO，
如图，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系
则B(-1，0，0)，C(1，0，0)，A(0，

3

，0)，B1(0，0，

3

)，
∵

BB1

=

CC1

∴C1(2，0，

3

)，----（8分）

BA

=(1，

3

，0)，

BC1

=(3，0，

3

)，
设平面ABC₁的法向量为

n1

=(x，y，z)
则

BA • n1 =0 BC1 • n1 =0

⇒

x+ 3 y=0 3x+ 3 z=0

，
令x=

3

，则y=-1，x=-3，所以

n1

=(

3

，-1，-3)---（10分）
又平面ABC的法向量为

n2

=（0，0，1），设平面使得平面ABC₁与底面ABC的所成角为α
所以cosα=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

3

13

＞cos60°=

1

2

，
又y=cosx在[0，

π

2

]上单调递减，
所以在CC₁上不存在点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为60°-------（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，向量法求解二面角的平面角的大小，考查空间想象能力以及计算能力．