Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；
（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（I）取AD的中点G，连结PG、GB、BD，由已知条件推导出PG⊥AD，BG⊥AD，从而得到AD⊥平面PGB，由此能够证明AD⊥PB．
（II）取PB的中点F，连结MF，CF，由已知条件推导出四边形CDMF是平行四边形，同此能够证明DM∥平面PCB．
（III）以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解答： （I）证明：取AD的中点G，连结PG、GB、BD．
∵PA=PD，∴PG⊥AD…（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，BG⊥AD，
又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．…（4分）
（II）证明：取PB的中点F，连结MF，CF，
∵M、F分别为PA、PB的中点，∴MF∥AB，且MF=

1

2

AB．
∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，∴MF∥CD且MF=CD，…（6分）
∴四边形CDMF是平行四边形．∴DM∥CF．
∵CF?平面PCB，DM?平面PCB，
∴DM∥平面PCB．…（8分）
（III）解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，
又∵PG⊥AD，∴PG⊥底面ABCD．∴PG⊥BG．
∴直线GA、GB、GP两两互相垂直，
故以G为原点，直线GA、GB、GP所在直线为x轴、y轴和z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz．
设PG=a，则由题意得：P(0，0，a)，A(a，0，0)，B(0，

3

a，0)，D(-a，0，0)，C(-

3

2

a， 

3

2

a， 0)．∴

BC

=(-

3

2

a，-

3

2

a，0)．
设

n

=(x0，y0，z0)是平面PBC的法向量，
则

n

•

BC

=0且

n

•

PB

=0．
∴

- 3 2 ax0- 3 2 ay0=0 3 ay0-az0=0.

⇒

x0=- 3 3 y0 z0= 3 y0.

取y0=

3

，得

n

=(-1，

3

，3)．
∵M是AP的中点，∴M(

a

2

，0，

a

2

)．
∴

DM

=(

a

2

，0，

a

2

)-(-a，0，0)=(

3

2

a，0，

a

2

)．

DM

•

n

=(

3

2

a，0，

a

2

)•(-1，

3

，3)=0．∴

DM

⊥

n

．
平面PAD的法向量

n1

=

GB

=(0，

3

a，0)，
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ，
则cosθ=|

n • n1

| n |•| n1 |

|=

3a

1+3+9 • 3 a

=

39

13

，…（10分）
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为

39

13

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．