Question

19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是直角三角形
（横线上填“等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形”中的一个）．

Answer 1

分析 利用余弦定理角化边化简即可得出a，b，c的关系，从而得出答案．

解答 解：在△ABC中，∵acosB+acosC=b+c，
∴a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=b+c．
即$\frac{b（{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}）+c（{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}）}{2bc}$=b+c，
∴$\frac{（b+c）（{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}+2bc）}{2bc}$=b+c．
∴a²-b²-c²+2bc=2bc，即a²=b²+c²．
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形．

点评 本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理与化简运算的能力，属于中档题．