Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：A₁C₁⊥AB；
（3）求点B₁到平面ABC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证EF∥平面ABC，关键在平面ABC内找一直线与EF平行，根据中位线可知EF∥A₁C₁而A₁C₁∥AC则EF∥AC；
（2）欲证A₁C₁⊥AB，可先证A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，根据线面垂直的判定定理可知只需证AB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥AA₁；
（3）过A₁作A₁G⊥AC₁于点G，先证A₁G⊥平面ABC₁，从而得到A₁G即为所求的距离，在三角形中求出该距离即可．

解答：（1）证明：∵E、F分别为AB₁、BC₁的中点，
∴EF∥A₁C₁．∵A₁C₁∥AC，∴EF∥AC．
∴EF∥平面ABC．
（2）证明：∵AB=CC₁，∴AB=BB₁．又三棱柱为直三棱柱，∴四边形ABB₁A₁为正方形．连接A₁B，则A₁B⊥AB₁．
又∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
∴AB₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥AA₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
∴A₁C₁⊥AB．
（3）解：∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁．
∴A₁到平面ABC₁的距离等于B₁到平面ABC₁的距离．
过A₁作A₁G⊥AC₁于点G，
∵AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁G．从而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即为所求的距离，即A₁G=

a

b

b2-a2

，
∴点B₁到平面ABC₁的距离

a

b

b2-a2

．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及点、线、面间的距离计算等有关知识，属于基础题．