Question

如图，在△ABC中，已知A（-3，0），B（3，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为
H且

CD

=9

CH

．
（Ⅰ）求点H的轨迹方程；
（Ⅱ）设P（-1，0），Q（1，0），那么

1

|HP|

，

1

|PQ|

，

1

|QH|

能否成等差数列？请说明理由；
（Ⅲ）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点C（x，y），由题意得H（x，

8

9

y），则

AC

=(x+3，y)，

BH

=(x-3，

8

9

y)，由于AC⊥BH，于是

AC

•

BH

=x2-9+

8

9

y2=0，又y=0时

AC

，

BH

共线，不合题意．故点C的轨迹方程为x2+

8

9

y2=9（y≠0）．由此能得到得到点H的轨迹方程为

x2

9

+

y2

8

=1，(y≠0)．
（Ⅱ）设H(3cosα，2

2

sinα) ，α∈(0，π)∪(π，2π)，则

PH

=(3cosα+1，2

2

sinα)，

QH

=(3cosα-1，2

2

sinα)，由此能得到

1

|HP|

，

1

|PQ|

，

1

|QH|

不能构成等差数列．
（Ⅲ）设M（9，m），N（9，n），则A（-3，0），B（3，0），于是

AM

=(12，m)，

AH

=(3cosα+3，2

2

sinα)，由A，H，M三点共线得m=

8 2 sinα

cosα+1

．由B，H，N三点共线得n=

4 2 sinα

cosα-1

，又M(9，

8 2 sinα

cosα+1

) ，N(9，

4 2 sinα

cosα-1

)，以MN为直径的圆的方程为(x-9)2+y2-(

8 2 sinα

cosα+1

+

4 2 sinα

cosα-1

) y-64=0，由此能得以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）．

解答：解：（Ⅰ）设点C（x，y），由题意得H（x，

8

9

y），
则

AC

=(x+3，y)，

BH

=(x-3，

8

9

y)，由于AC⊥BH，
于是

AC

•

BH

=x2-9+

8

9

y2=0，
又y=0时

AC

，

BH

共线，不合题意．故点C的轨迹方程为x2+

8

9

y2=9（y≠0）．
设点H（x，y），C（x₀，y₀），则x02+

8

9

y02=9（y₀≠0），
由

x=x0 y= 8 9 y0

得到点H的轨迹方程为

x2

9

+

y2

8

=1，(y≠0)．（4分）
（Ⅱ）设H(3cosα，2

2

sinα) ，α∈(0，π)∪(π，2π)，则

PH

=(3cosα+1，2

2

sinα)，

QH

=(3cosα-1，2

2

sinα)，
故

1

| PH |

+

1

| QH |

=

1

3+cosα

+

1

3-cosα

=

6

9-cos2α

＜

6

8

=

3

4

＜1=

2

|PQ|

，
所以

1

|HP|

，

1

|PQ|

，

1

|QH|

不能构成等差数列．（9分）
（Ⅲ）设M（9，m），N（9，n），则A（-3，0），B（3，0），
于是

AM

=(12，m)，

AH

=(3cosα+3，2

2

sinα)
由A，H，M三点共线得12×2

2

sinα-m(3cosα+3)=0，∴m=

8 2 sinα

cosα+1

；
由B，H，N三点共线得n=

4 2 sinα

cosα-1

，又M(9，

8 2 sinα

cosα+1

) ，N(9，

4 2 sinα

cosα-1

)，以MN为直径的圆的方程为(x-9)2+y2-(

8 2 sinα

cosα+1

+

4 2 sinα

cosα-1

) y-64=0
解得

x=1 y=0

（舍）或

x=17 y=0

．故以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）．（15分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．