Question

【题目】设函数f（x）＝ln（ax2+x+6）．

（1）若a＝﹣1，求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的定义域是（﹣2，3）；当﹣2＜x时，f（x）单调递增；当x＜3时，f（x）单调递减（2）a

【解析】

（1）根据真数大于零求函数的定义域，再结合二次函数的单调性，即可求单调区间；

（2）函数定义域为，转化为真数大于零在上恒成立，即可求解.

（1）a＝﹣1时，函数f（x）＝ln（﹣x2+x+6），

令t＝﹣x2+x+6＞0，解得﹣2＜x＜3，

所以f（x）的定义域是（﹣2，3）；

当﹣2＜x时，二次函数t＝﹣x2+x+6单调递增，则f（x）也单调递增；

当x＜3时，二次函数t＝﹣x2+x+6单调递减，则f（x）也单调递减；

f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是；

（2）若函数f（x）的定义域为R，则ax2+x+6＞0恒成立，

即，解得a，

所以a的取值范围是a．