Question

3．已知圆C：x²+y²-2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求证：直线l与圆C相交；
（2）计算直线l被圆C截得的最短的弦长．

Answer 1

分析 （1）直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，显然过直线2x+y-7=0 及直线x+y-4=0的交点A，由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得交点A的坐标．
（2）把 圆C的方程化为标准形式，求出圆心C的坐标和半径，要使直线L被圆C截得的线段长度最小，需心C到直线L的距离d最大，d的最大为CA线段的长度，即可得出结论．

解答 （1）证明：直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，显然过直线2x+y-7=0 及直线x+y-4=0的交点A．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得交点A的坐标为（3，1），
故直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0经过定点A（3，1）．
（2）解：圆C：x²+y²-2x-4y-20=0 即 （x-1）²+（y-2）²=25，表示以C（1，2）为圆心，以5为半径的圆．
设圆心C到直线L的距离为d，要使直线L被圆C截得的线段长度最小，需d最大．由题意可知，d的最大为CA线段的长度．
由两点间的距离公式可得CA=$\sqrt{5}$．
∴直线l被圆C截得的最短的弦长为2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系的应用，判断圆心C到直线L的距离d的最大为CA线段的长度，是解题的关键．