Question

18．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且f（1）=2．
（1）求m；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明理由．
（3）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由代入法，计算即可得到m=1；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号和下结论几个步骤；
（3）由（2）的结论，计算即可得到最小值．

解答 解：（1）f（1）=1+m=2，
解得m=1；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
由f（x）=x+$\frac{1}{x}$，设1≤x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）
=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
由1≤x₁＜x₂，可得x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即有f（x₁）-f（x₂）＜0，
则函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）由f（x）在[1，+∞）上递增，
可得f（1）为最小值为2．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．