Question

6．若x＞0，x$\sqrt{1-{x}^{2}}$的最大值为$\frac{1}{2}$，此时x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由x＞0，可求平方的最大值，运用基本不等式即可得到最大值，由等号成立的条件，可得x的值．

解答 解：当x＞0时，y=x$\sqrt{1-{x}^{2}}$≥0，
由y²=x²（1-x²）≤（$\frac{{x}^{2}+1-{x}^{2}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
即有y≤$\frac{1}{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，及满足的条件：一正二定三等，属于中档题．