Question

9．设关于x的不等式（k²-2k-3）x²+（k+1）x+1＞0（k∈R）的解集为M．
（1）若1∈M，求实数k的取值范围．
（2）若M=R，求实数k的取值范围．
（3）是否存在实数k，满足：“对任意n∈N，都有n∈M，对任意m∈Z^-，都有m∉M”？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=1代入原不等式，求出k的取值范围；
（2）讨论二次项系数k²-2k-3=0时以及不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围；
（3）根据题意得出解集M，讨论k²-2k-3的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．

解答 解：（1）当1∈M时，不等式化为（k²-2k-3）+（k+1）+1＞0，
即k²-k-1＞0，
解得k＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或k＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴实数k的取值范围是{k|k＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或k＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}；
（2）当k²-2k-3=0时，解得k=3，或k=-1，
当k=-1时，不等式化为1＞0，∴k=-1时，解集为R，
当k=3时，不等式化为4x+1＞0，对任意实数x不等式不成立，
当M=R时，$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-2k-3＞0}\\{{（k+1）}^{2}-4{（k}^{2}-2k-3）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k＜-1或k＞3}\\{k＜-1或k＞\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，
即k＜-1或k＞$\frac{13}{3}$，
综上，k的取值范围是{k|k≤-1或k＞$\frac{13}{3}$}；
（3）根据题意，得出解集M=（-$\frac{1}{4}$，+∞）；
当k²-2k-3=0时，解得k=3，或k=-1，此时k=3满足不等式的解集为（-$\frac{1}{4}$，+∞）；
当k²-2k-3＞0时，解得k＞3，或k＜-1，此时对应的一元二次不等式的解集不是（-$\frac{1}{4}$，+∞）；
当k²-2k-3＜0时，解得-1＜k＜3，此时对应的一元二次不等式的解集也不是（-$\frac{1}{4}$，+∞）；
综上，满足条件k的值为3．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目．