Question

给定两个命题P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的函数y=2x²+ax+4在[3，+∞）是增函数．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据不等式恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围；根据二次函数的单调性与对称轴的位置关系得到a与端点的大小关系．

解答： 解：命题P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，则a=0或者a＞0且a²-4a＜0，解得0≤a＜4；
命题Q：关于x的函数y=2x²+ax+4在[3，+∞）是增函数，所以-

a

4

≤3，解得a≥-12；
因为P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，所以P，Q有且仅有一个真命题，
所以

a＜0或a≥4 a≥-12

或

0≤a＜4 a＜-12

解得-12≤a＜0或a≥4，
所以实数a的取值范围是[-12，0）∪[4，+∞）．

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．