Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥

1

8

(

3

t

-t)恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1]∪（0，3]
• B、(-∞，-

  3

  ]∪(0，

  3

  ]
• C、[-1，0）∪[3，+∞）
• D、[-

  3

  ，0)∪[

  3

  ，+∞)

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先根据f（x+2）=2f（x），结合x∈[-4，-2]时，f（x）≥

1

8

(

3

t

-t)，将f（x）转化到[0，2]上，得到具体的表达式，再根据不等式恒成立的解题思路，分离参数求出t的范围．

解答： 解：设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，
由f（x+2）=2f（x），所以f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=

1

4

f（x+4），结合x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，
所以f（x）≥

1

8

(

3

t

-t)可化为：

1

4

f（x+4）≥

1

8

(

3

t

-t)
即

3

t

-t≤2f（x+4）=2[（x+4）²-2（x+4）]，恒成立
只需

3

t

-t≤2[(x+4)2-2(x+4)]min，易知当x+4=1，即x=-3时取得最小值-2．
即

t2-2t-3

t

≥0，解得-1≤t＜0或t≥3．
故选C．

点评：本题考查了不等式的恒成立问题，一般是转化为函数的最值来解决，关键是能够根据f（x+2）=2f（x），将所求区间上的函数式转化到已知区间上来，得到具体的关于x的不等式恒成立，使问题获得解决．