Question

已知函数f（x）=-x²+（m-2）x+2-m，且y=|f（x）|在[-1，0]上为单调减函数，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：通过讨论判别式△的范围，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：判别式△=m²-8m+12=（m-2）（m-6），
①当△≤0时，即2≤m≤6时，函数f（x）≤0恒成立，
∴|f（x）|=-f（x）=x²-（m-2）x+m-2，
对称轴方程为：x=

m-2

2

，
∴当

m-2

2

≥0即m≥2时符合题意（如图1），
此时2≤m≤6；
②当△＞0时，即m＜2或m＞6时，
方程f（x）=0的两个实根为x=

(m-2)± m2-8m+12

2

，
不妨设x₁＜x₂，由题意及图象得x₁≥0 或

m-2 2 ≤-1 x2≥0

，
即m-2≥

m2-8m+12

（如图2）或

m-2 2 ≤-1 m-2+ m2-8m+12 ≥0

（如图3）
解得m≥2或m≤0，此时m≤0或m＞6，
综上得m的取值范围是：m≤0或m≥2；
故答案为：m≤0或m≥2．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了数形结合思想，分类讨论思想，是一道中档题．